第10课 参数方程的概念 一、学习要求 1.了解参数方程的概念； 2.了解参数方程的意义。 二、先学后讲 1. 探究： 一架飞机在离灾区地面500高处以100的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机？ 在经过的航线与垂直于地平 面的平面上建立直角坐标系，其 中地平面与该平面的交线为轴， 经过物资投出机舱点为轴。 设物资投出秒后的位置为 点。由于水平位移量与高度是两种不同的运动得到的，因此，直接建立，所满足的关系式并不易。 实际上，物资出船舱后，它的运动是由：①沿水平方向匀速直线运动；②沿垂直（向下）方向作自由落体运动，这两种运动的合成。 于是，物资出船舱后的时刻，有： . ① 在的取值范围内，给定的一个值，由方程组①可以唯一确定的值，即当确定时，点的位置就唯一确定了。 2.参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标，都是某个变数的函数， ② 并且对于的每一个允许值，由方程组②所确定的点都在这条曲线上，那么方程组②就叫做这条曲线的参数方程，联系变数，的变数叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标关系的方程叫做普通方程。 【要点说明】 （1）参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来。参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点的横坐标和纵坐标。 （2）参数方程中的参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显的意义；同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程的形式也不一样；在实际部量中要确定参数的取值范围。 （3）研究运动问题时，常选时间为参数。 三、问题探究 ■合作探究 例1．已知曲线的参数方程是.（为参数） （1）判断点，与曲线的位置关系； （2）已知点在曲线上，求的值。 【要点说明】 ① 判断点与曲线的位置关系，可转化为判断点的坐标是否满足曲线的方程。对于参数方程，判断点是否在曲线上，等价于是否存在参数的一个值，使点的坐标同时是参数方程中两个方程的解。 ② 已知点在曲线上，则点的坐标必定满足曲线的方程，把点的坐标代入已知的方程（组），从而列出关于所求未知量的方程（组），通过解方程（组）来求出所求的未知数。 解：（1）∵点的坐标为， ∴，解得， ∴点在曲线上。 ∵点的坐标为， ∴，方程组无解， ∴点不在曲线上。 （2）∵点在曲线上， ∴，解得，， ∴。 ■自主探究 1．已知曲线的参数方程是（为参数，），点在曲线上. （1）求的值； （2）若点也在曲线上，求，两点间的距离。 解：（1）∵点在曲线上， ∴，解得 ，∴。 （2）由（1）可得，曲线的参数方程， ∵点在曲线上， ∴，解得，， ∴， ∴，两点间的距离为：. 四、总结提升 本节课你主要学习了 。 五、问题过关 1.动点作匀速直线运动，它在轴和轴方向的分速度分别是3和4，直角坐标系的长度单位产1，点的起始位置在点处，求点的轨迹的参数方程。 解：设动点，运动时间为，则，， ∴点的轨迹的参数方程为： . 第11课 圆的参数方程（1） 一、学习要求 1.掌握圆的参数方程；了解圆的参数方程中的参数的意义； 2.能根据圆的参数方程解决一些简单问题。 二、先学后讲 1.圆的参数方程 （1）圆心在原点，半径为的圆的参数方程: （为参数）. 其中参数的几何意义是：绕点逆时针旋 转到的位置时，转过的角度。 它的普通方程是：. （2）圆心在点，半径为的圆的参数方程: （为参数）. 它的普通方程是：. 【要点说明】 （1）研究旋转问题，常选取旋转角为参数； （2）把圆的参数方程转化为普通方程，通常利用进行消参； （3）在利用圆的参数方程（为参数）研究圆的问题时，圆上的点的坐标可设为。 三、问题探究 ■ ... ...
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