北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． 10． 11． 12．； 13． 14．； 注：第12，14题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 [ 4分] [ 5分] ， [ 7分] 所以的最小正周期 ． [ 8分] （Ⅱ）因为 ，所以 ． [10分] 所以 ， [12分] 所以 ． [13分] 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 是和的等差中项， 所以 ． [ 2分] 因为数列是公比为的等比数列， 所以 ， [ 4分] 解得 ． [ 6分] 所以 ． [ 8分] （Ⅱ）令，即，得， [10分] 故正项数列的前项大于1，第项等于1，以后各项均小于1． [11分] 所以 当，或时，取得最大值， [12分] 的最大值为 ． [13分] 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意得，样本中类学生所占比例为， [ 2分] 所以类学生所占比例为． [ 3分] 因为全市高中学生共万人， 所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人． [ 4分] （Ⅱ）由表1得，在5人（记为）中，类学生有2人（不妨设为）． 将他们按要求分成两组，分组的方法数为种． [ 6分] 依次为： ． [ 8分] 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为． [10分] （Ⅲ）． [13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） 因为 平面，所以 ． [ 2分] 在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形， 所以 ． [ 3分] 所以 平面． [ 5分] （Ⅱ）在 三棱柱中， 因为 ，平面， [ 6分] 所以 平面． [ 8分] 因为 平面平面， 所以 ． [10分] （Ⅲ）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为. 因为三棱锥与三棱柱同底等高， 所以 ， [11分] 所以 . 因为 ， 所以 . [12分] 因为 三棱柱与三棱柱等高， 所以 △与△的面积之比为， [13分] 所以 ． [14分] 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得，，． [ 2分] 所以椭圆的方程为． [ 3分] 设椭圆的半焦距为，则 ， [ 4分] 所以椭圆的离心率． [ 5分] （Ⅱ）由已知，设，． [ 6分] 若是平行四边形，则 ， [ 8分] 所以 ， 整理得 ． [10分] 将上式代入 ， 得 ， [11分] 整理得 ， 解得 ，或． [13分] 此时 ，或．经检验，符合四边形是平行四边形， 所以存在 ，或满足题意． [14分] 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）函数的定义域是， 导函数为． [ 1分] 所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． [ 3分] （Ⅱ）由已知． [ 4分] 所以只需证明方程 在区间有唯一解． 即方程 在区间有唯一解． [ 5分] 设函数 ， [ 6分] 则 ． 当 时，，故在区间单调递增． [ 7分] 又 ，， 所以 存在唯一的，使得． [ 8分] 综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为 ． [ 9分] （Ⅲ）．证明如下： [10分] 首先证明：当时，． 设 ， [11分] 则 ． 当 时，，， 所以 ，故在单调递增， [12分] 所以 时，有， 即当 时，有． 所以 ． [13分] ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
