天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试 高三数学（理）参考答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1－8CABDC CDB 二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分. 9． 10． 11． 12． 13．3 14． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） ……………………2分 ……………………4分 所以，所以的最小正周期为．……………………6分 （Ⅱ）由，得， ……………………7分 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减；……………9分 且当，即时，，此时； 当，即时，，此时; 当，即时，，此时; ………12分 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值………13分 （16）（本小题满分13分） 解：（I）记参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的事件为， 则基本事件的总数为， ……………………1分 事件包含基本事件的个数为， ……………………2分 则. ……………………4分 (II)由题意知可取的值为：. ……………………5分 则 ……………………10分 因此的分布列为 0 1 2 3 4 ……………………11分 的数学期望是 = ……………………13分 （17）（本小题满分13分） 解：方法一：（I）因为，则，， 所以为二面角的平面角，即，………………1分 在中，，，， 所以，所以，即，…………2分 由，，且，可知平面， 又平面，所以，…………………………………………………3分 又因为，平面，平面， 所以平面． ………………………4分 （II）由平面得，，又，即，，两两垂直， 则以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 由（I）知， 则，，， 由得， …………6分 依题意，， 设平面的一个法向量为， 则，即，不妨设，可得， …………8分 由平面可知平面的一个法向量为…………………9分 设平面与平面所成的角（锐角）为， 所以，于是， 所以平面与平面所成的角（锐角）为． ………………10分 （III）若为的中点，则由（II）可得，所以，………11分 依题意平面，可知平面的一个法向量为，……………12分 设直线与平面所成角为，则 ，所以直线与平面所成角的大小．……13分 方法二：（I）因为，则，， 所以为二面角的平面角，即，…………1分 在中，，，， 所以，所以，即，…………2分 由，，且，可知平面， 又平面，所以， …………………………………3分 又因为，平面，平面， 所以平面． ………………4分 （Ⅱ）令的延长线的交点为，连。则平面平面， ∴二面角即平面与平面所成的角（锐角） ……………5分 ∵∥，，∴是的中位线，∴， ∴为正三角形。 …………………6分 令的中点为，连。易知，且 ………7分 在直角中，， 在直角中，，∴，∴，………8分 ∴是二面角的平面角。 …………………9分 在直角中，，∴ ∴平面与平面所成的角（锐角）为。…………………………10分 （Ⅲ）∵，∥，∴，即。 又∵是正的边的中点，∴， ∵是平面内的两条相交直线∴平面。……………11分 ∴是直线与平面所成的角。显然。…………12分 ∵∥，∴直线与平面所成的角为 ‥……………13分 （18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设数列的公比为，则由条件得： ， ……………………………1分 又，则， 因为，解得：， ……………………………3分 故. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：， ………………5分 则 ① ② ………………6分 ①- ②得： 所以 ………………9分 则，则 ………………10分 由…………………………11分 得：当时，； 当时，； 所以对任意，且均有，故.………………13分 （19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知，则， ……………………………1分 圆的标准方程为，从而椭圆的左 ... ...
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