【经典母题】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. 讨论函数g(x)＝－零点的个数. 【迁移探究1】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. 已知函数g(x)＝－有两个零点，求m的范围？ 【答案】 0＜m＜ 【迁移探究2】若条件改为有零点，求m的范围？ 【答案】 【解析】 由题设g(x)＝－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点. ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)， 则当时，函数g(x)有零点. 规律方法 函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化, 这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的个数求参数的取值范围. 常用两种方法： (1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题； (2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决. 处理策略：变量分离；直接讨论； 讨论零点个数的答题模板 第一步：求函数的定义域； 第二步：分类讨论函数的单调性、极值； 第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数. 【变式训练】 1.函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)当a>0时，解不等式f(x)≤0； (2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解. (2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2， 由于ex>0，所以x＝0不是方程的解， 所以原方程等价于ex－－1＝0. 令h(x)＝ex－－1， 因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， 所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数， 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0， h(－2)＝e－2>0， 所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3，1}. 2．设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ） A. [1﹣，1+） B. [﹣1，2] C. [﹣2，2] D. [﹣2，1﹣] 3．定义在上的函数，满足，且当时， ，若函数在上有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 设， 则， 因为且当时， ， 所以， 则 ， 4．函数是定义在R上的偶函数，且满足时， ，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线的斜率必须满足，由题意可得，则， ．即有． 故选A． 5．已知定义在上的函数，周期为4，当时， 当时，函数有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是 A. B. C. D. （2, ） 【解析】 函数，的图象如图： 关于的方程有8个不等的实数根， 必须有两个不相等的实数根，由函数图象可知，令，方程化为： ， ，开口向下，对称轴为： ，可知： 的最大值为： ， 的最小值为2， 故选D. 7．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【解析】 恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时， ，直线与，相切时，由图知， 时，两图象有两交点，即 的取值范围是 故选C. 8．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A. [-1,1) B. [-1,2) C. [-2,2) D. [0,2] 9．已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. ... ...
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