21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 圆锥曲线中的弦问题 方法总结 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： |P1P2|＝＝·|x1－x2|＝ ＝ |y1－y2| (2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)． 圆锥曲线的中点弦问题 遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． 在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－； 在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝ ； 在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0. 弦的中点问题常见的探究角度 1、由中点弦确定直线方程． 2、由中点弦确定曲线方程． 3、由中点弦解决对称问题． 处理中点弦问题常用的求解方法 （1）点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． （2）根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 中点弦问题归纳 (1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长． （2）遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. (3)对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程． ③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 例题精讲 例1、直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 例2、已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为_____． 例3、已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A． B． C．2 D．-2 例4、已知椭圆C: ()的右焦点为F(2,0),且过点P(2, ). 直线过点F且交椭圆C于A、B两点. （1）求椭圆C的方程； （2）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程。 参考答案 例1、【答案】D 【解析】设， 则 两式作差，得： 即，又线段的中点恰好为点 ∴ 故选：D 例2、解析：直线l的方程为y＝x＋1，联立得y2－14y＋1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.故填16. 例3、解析：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A. 例4、【答案】（1）；（2） 或 解析：（2）当斜率不存在时,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2), A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0), 由得, 因为, 所以, 所以,, 因为线段AB的垂直平分线过点M(), 所以,即,所以, 解得, , 所以直线l的方程为 或 专题练习 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于( ) A．5 B．4 C．3 D．2 双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1， ... ...
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