2017-2018学年高三数学二轮复习重难点专题：圆锥曲线中的定点定直线问题

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 圆锥曲线中的定点定直线问题 方法总结 直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常 将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0 直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0 直线与圆锥曲线C相切；Δ<0 直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方 程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2.根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 定点的探索与证明问题的模板步骤①探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立 一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 例题精讲 例1、如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为2，且过点 . （1）求椭圆的方程； （2）若点 分别是椭圆的左右顶点，直线l经过点B且垂直与轴，点P是椭圆上异于 的任意一点，直线 交l于点M.21世纪教育网版权所有 ①设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值； ②设过点M垂直于 的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 例2、已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )过点 ( http: / / www.21cnjy.com / )，其离心率为 ( http: / / www.21cnjy.com / ). （1）求椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )的方程； （2）直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )与 ( http: / / www.21cnjy.com / )相交于 ( http: / / www.21cnjy.com / )两点，在 ( http: / / www.21cnjy.com / )轴上是否存在点 ( http: / / www.21cnjy.com / )，使 ( http: / / www.21cnjy.com / )为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.21教育网 例3、已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )： ( http: / / www.21cnjy.com / )的离心率与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com / )： ( http: / / www.21cnjy.com / )的离心率互为倒数，且经过点 ( http: / / www.21cnjy.com / )． ( http: / / www.21cnjy.com / ) （1）求椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )的标准方程； （2）如图，已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )是椭圆上的两个点，线段 ( http: / / www.21cnjy.com / )的中垂线的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )且与 ( http: / / www.21cnjy.com / )交于点 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )为坐标原点，求证： ( http: / / www.21cnjy.com / )三点共线．21cnjy.com 参考答案 例1、【答案】（1） ；（2） ， . 例2、【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com / )（2） ( http: / / www.21cnjy.com / ) 例3、【答案】(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )；(2)略. 专题练习 已知F是抛物线 的焦点，过F的直线l与直线 垂直，且直线l与抛物线C交于 两点，则 _____． 过抛物线 的焦点F作斜率为 的直线l交抛物线于 两点，则以 为直径的圆的标准方程为_____．2·1·c·n·j·y 经过点 ( http: / / www.21cnjy.com / )作椭 ... ...