2017-2018学年高三数学二轮复习重难点专题：圆锥曲线中的定值问题

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 圆锥曲线中的定值问题 方法总结 直线和圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥 曲线C的位置关系时，通常 将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0 直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0 直线与圆锥曲线C相切；Δ<0 直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 定点、定值问题的解题思想通常是通过设参数 或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 求定值问题的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 定值的探索与证明问题的思路①探索面积、长度、角度、参数为定值时，可先建立“目标函数”表达式，确定其值．②从特殊情况入手，先探求定值，再证明与变量无关． 例题精讲 例1、已知点 ( http: / / www.21cnjy.com / )的坐标分别为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com / )，且它们的斜率之积是 ( http: / / www.21cnjy.com / )，点 ( http: / / www.21cnjy.com / )的轨迹为曲线 ( http: / / www.21cnjy.com / ). （Ⅰ）求 ( http: / / www.21cnjy.com / )的方程； （Ⅱ）过点 ( http: / / www.21cnjy.com / )作直线交曲线 ( http: / / www.21cnjy.com / )于 ( http: / / www.21cnjy.com / )两点，交 ( http: / / www.21cnjy.com / )轴于 ( http: / / www.21cnjy.com / )点，若 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，证明： ( http: / / www.21cnjy.com / )为定值. 例2、设 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )是椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )上的两点，椭圆的离心率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，短轴长为2，已知向量 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，且 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )为坐标原点. （1）若直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )过椭圆的焦点 ( http: / / www.21cnjy.com / )，（ ( http: / / www.21cnjy.com / )为半焦距），求直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )的斜率 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值； （2）试问： ( http: / / www.21cnjy.com / )的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 例3、抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com / )的顶点是双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com / )： ( http: / / www.21cnjy.com / )的中心， ( http: / / www.21cnjy.com / )的焦点与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com / )的右焦点相同． （1）求抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com / )的方程； （2）直线 ( http: / / www.21cnjy.com / )过点 ( http: / / www.21cnjy.com / )，交抛物线于 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / ... ...