21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）： 11.3 几何概型（答案） 知识回顾 几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性． (3)公式： P(A)＝. 例题精讲 考点一 与长度、角度有关的几何概型 【例题1】 （1）在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（ ） 21*cnjy*com A. B. C. D. 【答案】C 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形， 过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1， 显然当弦为CD时就是△BCD的边长， 要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|， 记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}， 由几何概型概率公式得P（A）= ， 即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 ． 故选C． 【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、21cnjy.com （2）如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为 a， ∴往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为 = ， 故选：D． 【分析】设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为 a，求出相应的面积，以面积为测度可得结论．【出处：21教育名师】 【变式训练1】在半径为1的圆O内任取一点M，过M且垂直OM与直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：由题意，|OM|≤ = ， 以面积为测度，可得AB长度大于 的概率为 = ， 故选A． 【分析】由题意，|OM|≤ = ，以面积为测度，可得AB长度大于 的概率． 考点二 与面积有关的几何概型 【例题2】如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2 ， 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_____． 【答案】 【考点】定积分的简单应用，几何概型 【解析】【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为 =（4x﹣ ）| = ， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 ； 故答案为： ． 【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答． 【变式训练2】（1）如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（ ） A. 12﹣8 B. 3﹣2 C. 8﹣5 D. 6﹣4 【答案】D 【考点】定积分，几何概型 【解析】【解答】解：设小圆半径为r，则圆O的半径为r+ r，由几何概型的公式得到：往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为：r+ ； 故选：D． 【分析】由题意，本题是几何概型，只要利用阴影部分的面积与圆O的面积比求概率． （2）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，几何概型 【解析】【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4， 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部， 面积为 =4﹣π， ∴在区域D内随机取 ... ...
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