【备考2018】高考数学真题精讲精练专题12.3 数学归纳法及其应用（2013-2017）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）： 12.3 数学归纳法及其应用 考纲剖析 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 知识回顾 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第 时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝ 时命题成立，证明当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有 都成立． 数学归纳法的框图表示 精讲方法 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值；第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法。21世纪教育网版权所有 1.用数学归纳法证明等式 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． 2.用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． 3.归纳———猜想———证明 “归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．21教育网 小结 1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．21·世纪*教育网 2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法． 3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写． 例题精讲 考点一　用数学归纳法证明等式 【例题1】用数学归纳法证明： 第一步应验证的等式是_____． 【答案】 【考点】数学归纳法的证明步骤 【解析】【解答】当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边． 【分析】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法2·1·c·n·j·y 【变式训练1】在数列{an}中，an=cos （n∈N*） （1）试将an+1表示为an的函数关系式； （2）若数列{bn}满足bn=1﹣ （n∈N*），猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论． 考点二　用数学归纳法证明不等式 【例题2】 已知：x∈（0+∞），求证： ； 【答案】证明：不妨令 ，则t∈（0+∞）， = ， 设 ，则f′（t）= ﹣ = ＞0， ∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（0）=0， ∴ ． 即： ．（2）已知：n∈N且n≥2，求证： ． 解：方法一：由（1）知 ，即 ， ∴ln2＞ ，ln ＞ ，ln ＞ ，，ln ＞ ， 以上各式相加得： ， 即得： ． 方法二：当n=2时， ，即左边＞右边， ... ...