宿州市2018届高三第一次质量检测试卷 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A C B B B D B D D A C A 二.选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13． ； 14. ； 15. 1； 16. . 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．解：（I）由已知有 ，又， 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()……………………………………………………6分 （II）由（I）知, 而, 令 ① ①×2得 ② ①-②得 =…………………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)取的中点，连， ，为等边三角形， ，又 ， ，又 ，又 ，又 平面.………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ) 知，，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形的边长为2，则， 因为直线与底面成角，即 …………………………………6分 设为平面的一个法向量，则 ，令，则 ………………………………………………8分 设为平面的一条法向量，则 ，令，则 ……………………………………10分 ，由题可知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为.………………………………………12分 19.解：（I）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为 4600×0.5653 +（4200-2160）×0.05 +（4600-4200）×0.3=2822.38元 …………3分 （II）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4. ,， , 故的分布列是 0 1 2 3 4 所以 ……………………7分 （III）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知 ,解得， 所以当时，概率最大，所以.…………………………………………12分 20.解：（I）直线的方程为，即，由圆与直线相切，得，即①. 设椭圆的半焦距为，则，所以②. 由①②得，. 故椭圆的标准方程为 ……………………………………4分 （II）为定值，证明过程如下： 由（I）得直线的方程为，故可设直线的方程为，显然.设，. 联立消去得，则有 . 由，，则 .…………………………………………12分 21．解：（I），其定义域为 为， . 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得.故函 数在上单调递增，在上单调递减. …………………5分 （II）由题意知.，当时，函数 单调递增，不妨设，又函数单调递减，所以原问题等价于：当时，对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立. 记，则在上单调递减.得对任意，恒成立. 令 ，，则 在上恒成立.则，而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.由，解得. 故实数的最小值为. …………………………………………12分 （二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22．解析：（Ⅰ）解：（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为. …………………………………………4分 （II）解法1：在中，令，得，则，联立消去得.设，，其中 ，则有，.，，故.（或利用为椭圆的右焦点，则.） …10分 解法2：把代入得，则，则.………………………………10分 23．解析：（Ⅰ）当时，，当且仅当，即时等式成立， 所以，当时，．………………………………………………5分 （Ⅱ）当时，函数的最大值为5 在上恒成立， 在上恒成立， 在上恒成立， ，且在上恒成立，函数在上单调递减，在上单调递增.，当且仅当时等式成立，而在上是恒成立的． ，即实数的取值范围是………………………………… ... ...
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