21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 排列与组合 【考点梳理】 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝eq \f(A,A)＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 【考点突破】 考点一、排列问题 【例1】(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 (2)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种. [答案] (1)B (2)36 [解析] (1)第一类：甲在最左端， 有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法； 第二类：乙在最左端， 有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法. 所以共有120＋96＝216(种)方法. (2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法. 【类题通法】 1. 第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类.注意特殊元素(位置)的优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置.对于分类过多的问题，可利用间接法. 2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法. 【对点训练】 1．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( ) A.120 B.240 C.360 D.480 [答案] C [解析] 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法. 2．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( ) A.30 B.600 C.720 D.840 [答案] C [解析]若只有甲乙其中一人参加，有CCA＝480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C. 考点二、组合问题 【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ [解析] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种. ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种. ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种. (4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种. ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种. (5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090种. ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 【类题通法】 组合问题常有以下两类题型变化： 1. “含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”， ... ...
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