2018高考数学考点突破--09几何概型(教师版+学生版）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 几何概型 【考点梳理】 1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝. 【考点突破】 考点一、与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_____． [答案] (1)B　(2) [解析] (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B. (2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′. 依题意，点P′在上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在上发生”． 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝. 【类题通法】 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置． 2．(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求P＝. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】 1．设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率是(　　) A. B. C. D. [答案] B [解析] 作等腰直角△AOC和△AMC，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|＞R，∴P＝＝. 2．在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为_____． [答案] [解析] 由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得<3， 即16k2<9，解得－