21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 数列的求和及综合应用 【考点梳理】 1.数列求和 (1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 2.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题. 【题型突破】 题型一、分组转化求和 【例1】已知等差数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2，n∈N*. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)数列{cn}满足cn＝bn＋(－1)nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q. ∵a1＝2，b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2， ∴解得 ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n，bn＝2n－1. (2)由题意：cn＝bn＋(－1)nan＝2n－1＋(－1)n2n. ∴Tn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n]， ①若n为偶数： Tn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]} ＝2n－1＋×2＝2n＋n－1. ②若n为奇数： Tn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－2)＋2(n－1)]－2n} ＝2n－1＋2×－2n＝2n－n－2. ∴Tn＝ 【类题通法】 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式. 2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. 【对点训练】 等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 【解析】(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意有 解得 所以{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)知，bn＝. 当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1； 当n＝4，5时，2≤<3，bn＝2； 当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3； 当n＝9，10时，4≤<5，bn＝4. 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 题型二、裂项相消法求和 【例2】Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和. 【解析】(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知 a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3. 两式相减可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an). 由于an>0，可得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3. 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝. 【类题通法】 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【对点训练】 设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【解析】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① 故当n≥2时，a1＋3 ... ...
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