21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 坐标系与参数方程 【考点梳理】 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ. 4.直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数). 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量. 5.圆、椭圆的参数方程 (1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π). (2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数). 【题型突破】 题型一、曲线的极坐标方程 【例1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积. 【解析】(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝. 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为. 【变式1】本例条件不变，求直线C1与曲线C3交点的极坐标. 【解析】联立方程解之得θ＝且ρ＝－2. 所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为. 【变式2】本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程. 【解析】∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上， ∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0， 故所求圆C2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 【类题通法】 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 【对点训练】 在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离. 题型二、参数方程及其应用 【例2】已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数). 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为； 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 【类题通法】 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件. 2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用 ... ...
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