21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 函数及其表示 【考点梳理】 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【考点突破】 考点一、求函数的定义域 【例1】(1)函数y＝的定义域是_____． (2)若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是_____． [答案] (1)[－3，1] (2)[0，1) [解析] (1)要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]． (2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1， 所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0，1)． 【类题通法】 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出； (2)若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 【对点训练】 1．函数f(x)＝＋的定义域为( ) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] [答案] A [解析] 由题意，自变量x应满足解得∴－3＜x≤0. 2．已知函数f(2x)的定义域为[－1，1]，则f(x)的定义域为_____. [答案] [解析] ∵f(2x)的定义域为[－1，1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定义域为. 考点二、求函数的解析式 【例2】(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式． (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解析] (1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即∴f(x)＝x2－x＋2. (3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝. 联立方程组 解得f(x)＝－(x≠0)． 【类题通法】 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)； (4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式． 【对点训练】 1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝_____. [答案] x2－1(x≥1) [解析] (换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (配凑法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1， 又 ... ...
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