21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 正弦定理、余弦定理应用举例 【考点梳理】 1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角．(如图①)． ① ② 2．方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向 转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等． 【考点突破】 考点一、测量距离问题 【例1】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_____m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) [答案] 60 [解析] 如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D. 在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m. 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°， ∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m， 由正弦定理＝，得 ＝，即＝， 解得BC＝≈60(m)． 【类题通法】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： (1)根据题意，画出示意图，并标出条件； (2)将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (3)检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案． 【对点训练】 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____m. 考点二、测量高度问题 【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝_____m. [答案] 100 [解析] 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)． 【类题通法】 1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． 2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识． 【对点训练】 如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60°，在电视塔的南偏西60°的B处测得塔顶的仰角为45°，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为_____米． 考点三、测量角度问题 【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？ [解析] 设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 根据余弦定理，可得 BC＝ ＝， 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直. 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°，又＝， 即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时. 【类题通法】 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为解三角形的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 【对点训练】 如 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
