考点十一 函数与方程 知识梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 两个交点 一个交点 无交点 零点个数 2 1 0 4．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0； 第二步，求区间(a，b)的中点x1； 第三步，计算f(x1)； ①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； ②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))； ③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))； 第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步． 典例剖析 题型一 函数零点的判断和求解 例1 函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有 零点. 答案 一个 解析 因为f(x)＝－＋4x－4=，所以函数f(x)＝－＋4x－4在区间［1，3］上有一个零点2. 变式训练 函数有零点的区间是 ． 答案 (2，3) 解析 . 解题要点 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断． 题型二 零点个数问题 例2 已知函数f(x)＝ln(x＋1)－，试求函数的零点个数． 解析 令f(x)＝0，即ln(x＋1)＝，在同一坐标系中画出y＝ln(x＋1)和y＝的图象，可知两个图象有两个交点， ∴ f(x)有两个零点． 变式训练 函数的零点个数是 ． 答案 1个 解析 函数的零点，即方程的解， 研究函数与图象的交点，作出两个函数的图象如图， 可知有一个交点，故有一个零点. 解题要点 判断函数零点个数的三种方法: (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)?f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 题型三 参数范围问题 例3 (1)函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ． (2) 函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是_____． 答案 (1) 4 (2) (0，1) 解析 (1)令函数f(x)=|x2－4x|－a=0，可得|x2－4x|=a．由于函数f(x)=|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y=|x2－4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点， 如图所示：故a=4．故答案为 4． (2) 在同一直角坐标系内，画出y1＝和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0
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