2018届高考艺体生文化课复习讲义（理数）：考点13 导数与函数的单调性

考点十三 导数与函数的单调性 知识梳理 1．函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)为该区间上的增函数； 如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)为该区间上的减函数． 二者关系： (1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件，这是因为f′(x)>0能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要.21世纪教育网版权所有 (2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)． 典例剖析 题型一 利用导数证明函数的单调性 例1　求证函数y＝x＋在[1, ＋∞)内为增函数． 解析 y′＝1－＝ 当x>1时，x2－1>0，∴y′>0， ∴函数y＝x＋在[1, ＋∞)内为增函数． 变式训练 求证函数y＝x3＋x2＋x在R上是增函数． 解析　y′＝3x2+2x＋1=3(x＋)2＋ 显然对任意x∈R，均有y′>0， ∴函数y＝x3＋x2＋x在R上是增函数． 题型二 求函数的单调区间 例2　已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．2·1·c·n·j·y (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． 解析　(1)由f(x)＝， 得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又ex>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 变式训练 (1)函数f(x)＝的单调递减区间是_____． (2) 已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R，则f(x)的单调递增区间为_____． 答案　(1) (0,1)，(1，e) (2) (－∞，1) 解析　(1) f′(x)＝，令f′(x)<0，得∴00，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型三 由函数的单调性求参数范围问题 例3　已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1) 若a＝3时，求f(x)的单调区间； (2) 若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围． 解析　(1) 当a＝3时，f(x)＝x3－3x－1， ∴ f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1， ∴ f(x)的单调增区间为(－∞，－1)、(1，＋∞)，同理可求f(x)的单调减区间为(－1，1)． (2) f′(x)＝3x2－a.∵ f(x)在实数集R上单调递增， ∴ f′(x)≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，∴ a≤(3x2)min. ∵ 3x2的最小值为0，∴ a≤0. 变式训练 已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．21cnjy.com 解析　f′(x)＝ex－a， (1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上单调递增， 若a>0，令ex－a≥0，则ex≥a，x≥ln a. 因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R， 当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)． (2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． ∴e－2