考点十五 任意角的三角函数与弧度制 知识梳理 1．角的概念 (1)任意角： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点； ②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．21·世纪*教育网 (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. (3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．【来源：21cnj*y.co*m】 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）．21*cnjy*com 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.【出处：21教育名师】 (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函数 （1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)时，sin α＝v，cos α＝μ，tan α＝(x≠0)．2-1-c-n-j-y （2）比值式定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.【版权所有：21教育】 注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.21教育名师原创作品 （3）三角函数值在各象限的符号： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.21*cnjy*com 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．则有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 注意：①三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)；②三角函数线是有向线段． 典例剖析 题型一 终边相同角的表示 例1 在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为_____． 答案 －675°或－315° 解析 所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－， 从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 变式训练1 终边在直线y＝x上的角的集合为_____． 答案 ∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是， ∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}． 变式训练2 已知角α为第三象限角，判断为第几象限角？ 解析 ∵π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)， ∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)． 当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ， ∴为第二或第四象限角． 解题要点 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
