考点十八 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 知识梳理 1．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, , π, , 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象 2．三角函数图象变换 3．函数y=Asin(ωx+φ)的几个概念 若函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 典例剖析 题型一 三角函数的图象变换 例1 (2015山东文)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象_____．(填序号) 向左平移个单位 ②向右平移个单位 ③向左平移个单位 ④向右平移个单位 答案 ② 解析 ∵y＝sin＝sin， ∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位． 变式训练 把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为_____． 答案 x＝－ 解析 将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x＝－是其图象的一条对称轴方程． 解题要点 图象平移时要注意平移量的求解，由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 题型二 三角函数的五点法作图 例2 设函数y＝2sin (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (2)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的． 解析 (1) 列表， x － y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点画出图象： (2) 方法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 方法二 将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象． 解题要点 (1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 题型三 由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例3 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的取值范围． 解析 (1)由题中图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1. 将点代入得sin＝1，又－<φ<，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin. (2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤， 所以f(x)的取值范围是. 解题要点 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 ... ...
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