考点二十一 不等关系与不等式 知识梳理 1．不等式 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系． 不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式． 注意：“a≥b”是指“a＞b或a=b”，等价说法是“a不小于b”，对于“a≥b”而言，只要a＞b 和a=b中有一个成立，a≥b就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a≤b”是指“a＜b或a=b”，等价说法是“a不大于b”，只要a＜b和a=b中只要有一个成立，a≤b就成立． 2．同向不等式 我们把a＞b和c＞d(或a＜b和c＜d)这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式． 3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法 关系 法则 作差比较 作商比较 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0) 注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若＞1，b＞0，则a＞b；若＞1，b＜0则a＜b)”的原则进行判断． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c a＞c. (3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥2)． (8)开方法则：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)． 5．不等式的倒数性质 (1)a＞b，ab＞0 ＜. (2)a＜0＜b ＜. (3)a＞b＞0,0＜c＜d ＞. 注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜c a＜c； (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． 典例剖析 题型一 不等关系 例1 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解析 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆， 则即 变式训练 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是_____．(填序号) ② ③ ④ 答案 ④ 解析 ∵x不低于95分，∴ x≥95. ∵y是高于380分，∴y>380. ∵z超过45分．∴z>45. 解题要点 解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表： 文字语言 不超过，至多，小于等于 不低于，至少，大于等于 超过，大于，高于 少于，小于，低于 不等号 ≤ ≥ ＞ ＜ 题型二 比较大小 例2 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2) 与. 解析 (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥＞0，∴x2＋3＞3x. (2) ∵－＝＝－ ≤0， ∴≤. 变式训练 已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小． 解析 (x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]， ∵x<1，∴x－1<0.又(x－)2＋>0， ∴(x－1)[(x－)2＋]<0，∴x3－1<2x2－2x. 解题要点 “作差比较法”的一般步骤为: (1)作差：对要比较大小的两个式子作差； (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形； (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号； (4)作出结论． 题型三 不等式的性质 例3 (2014·四川)若a>b>0，c
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