考点二十二 一元二次不等式与简单分式不等式的解法 知识梳理 1．一元一次不等式的解法 一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为 (1)当a＞0时，解集为{x|x＞}. (2)当a＜0时，解集为{x|x＜}. 2. 一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 图象 一元二次方程的根 有两相异实根 x1＝， x2＝ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 无实根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－，x∈R} R ax2＋bx＋c<0(a＞0) {x|x1＜x＜x2} ? ? 口诀：大于取两边，小于取中间． 3．分式不等式的解法 (1) ＞0f(x)·g(x)＞0， ＜0f(x)·g(x)＜0； (2) ≥0， ≤0； (3) ＞m－m＞0＞0． 4．简单高次不等式解法 对于简单高次不等式一般用序轴标根法求解，步骤是先求出各表达式为零时的根，再作图求解．作图口诀：“自右向左，自上向下，奇穿偶不穿”，其中“奇穿偶不穿”含义为，若对应根对应根为奇数个，则穿过该点，如果为偶数个，则作图时不穿过该点． 例如解不等式x (x－1)2(x－2)3＞0，在作图时，由于0,2这两个根分别是1个、3个，有奇数个根，因此作图时应穿过；而1这个根有2个，也就是有偶数个，因此作图时不穿过，如下图所示：21·世纪*教育网 由图知不等式x (x－1)2(x－2)3＞0解集为{x|x＜0或x＞2}． 5．几点注意事项 (1)对于不等式ax2＋bx＋c＞0(或＞0)，若二次项含有字母参数时，不一定是二次不等式，要分a＝0和a≠0讨论．21*cnjy*com (2)解分式不等式＞m时，不要直接在不等式两边同乘以分母，因为此时g(x)正负不确定．正确做法是移项将右边化为0，即化为－m＞0，然后通分求解． 典例剖析 题型一 一元二次不等式解法 例1 解下列不等式 (1)－3x2－2x＋8≥0； (2) x2－3x＋2≥0； 解析 (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2) 原不等式可化为(x－1)(x－2)≥0，解得x≤1或x≥2． 所以原不等式的解集为{x| x≤1或x≥2}． 变式训练 解不等式0＜x2－x－2≤4 解析 原不等式等价于? ?? 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为. 解题要点 求解一元二次不等式时，一般先通过变形，将不等式右边化为0，左边x2前系数化为正，求出根或因式分解后借助口诀“大于取两边，小于取中间”写出解集． 题型二 分式不等式解法 例2 不等式≤0的解集为_____． 答案 {x|10的解集是{x|x<－1或x>4}，则a＋b＝_____． 答案 －3 解析 由题意知，－1，4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴ a＋1＝－3，ab＝－4.∴ a＝－4，b＝1.∴ a＋b＝－3.2·1·c·n·j·y 变式训练 已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则a＝_____，c＝_____．【来源：21cnj*y.co*m】 答案 －1，－2 解析 由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2. 解题要点 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与x轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过来，由一元二次不等式的解集，可以得到对应的一元二次方程的根，结合根与系数关系即可求出参数值．21cnjy.com 题型四 一元二次不等式恒成立问题 例4 若不等式mx2－2x－1<0恒成立，则m的取值范围是_____． 答案 (－∞，－1) 解析 由，解得m<－1. 变 ... ...
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