21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 开放性问题 开放性试题是相对于条件和结论明确 的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型. 题型之一 条件开放型 例1 （2017 黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF ，使得△ABC≌△DEF．2-1-c-n-j-y 【考点】KB：全等三角形的判定． 【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证 ∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【出处：21教育名师】 【解答】解：∵BC∥EF， ∴∠ABC=∠E， ∵AC∥DF， ∴∠A=∠EDF， ∵在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF， 同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF． 故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定 两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 方法归纳：解这种类型的开放 性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己. 1. （2017.湖南怀化）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： CE=BC ，使得△ABC≌△DEC． 2. （2017山东聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）2·1·c·n·j·y A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC 题型之二 结论开放型 例2 （2017 乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD． （1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．21*cnjy*com （2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）结论：AC=AD+AB，只要证明AD= QUOTE http://www.21cnjy.com/ AC，AB=AC即可解决问题； （2）（1）中的结论成立．以C为顶点， AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题； （3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；21世纪教育网版权所有 【解答】解：（1）AC=AD+AB． 理由如下：如图1中， 在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°， ∴，同理． ∴AC=AD+AB． （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CB， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB． （3）结论：．理由如下： 过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE， 又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE． 又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE， ∴△CDA≌△CBE， ∴AD=BE， ... ...
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