2．1.1 合情推理 预习课本P70～77，思考并完成下列问题 (1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？ (2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？ (3)合情推理的含义是什么？ 1．归纳推理和类比推理 [点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论． (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确． 2．合情推理 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．由“若a＞b，则a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，则ac＞bc”采用的是( ) A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．数学证明 答案：C 3．数列5,9,17,33，x，…中的x等于_____． 答案：65 归纳推理在数、式中的应用 [典例] (1)观察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A．28 B．76 C．123 D．199 (2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为_____，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为_____． [解析] (1)利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和． (2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝， ∴根据前几项可以猜想fn(x)＝. [答案] (1)C (2)f3(x)＝ fn(x)＝ 1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和； (2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式． [活学活用] 1．观察下列等式： －2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； …… 照此规律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝_____. 解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)． 答案：n(n＋1) 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4的值． (2)猜想an的表达式． 解：(1)因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝， 又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋， 解得a4＝. (2)由(1)知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*). 归纳推理在几何中的应用 [典例] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( ) A．26 B．31 C．32 D．36 [解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 … ... ...
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