1．1.1 平均变化率 学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义． 知识点 函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)． 思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 思考3 观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？ 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：_____的增量与_____增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的_____． 类型一 求函数在某区间内的平均变化率 例1 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为_____． (2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 反思与感悟 求函数平均变化率的步骤： (1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1； (2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (3)求平均变化率＝. 跟踪训练1 分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率． 类型二 实际问题中的平均变化率 例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. (1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率． 反思与感悟 (1)综合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0. (2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量． 跟踪训练2 已知某物体运动位移与时间的关系s(t)＝gt2，试分别计算t从3 s到3.1 s,3.001 s各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？ 类型三 平均变化率的应用 例3 2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答： (1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？ (3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？ 反思与感悟 (1)本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义． (2)在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义． 跟踪训练3 甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图中①②所示，试问： (1)甲、乙二人哪一个跑得快？ (2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？ 1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝_____. 2．在雨季潮讯期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是_____m/h. 3．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为_____． 4．甲企业 ... ...
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