2017_2018版高中数学第3章空间向量与立体几何学案（打包9套）苏教版选修2_1

3．1.1　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义． 知识点一　空间向量的概念 在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 知识点二　空间向量的加减法 (1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) ＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b. (2)运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)定义 实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的|λ|倍．如图所示． (2)运算律 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb； 结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 知识点四　共线向量定理 (1)共线向量的定义 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b. (2)充要条件 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 思考　(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？ (2)零向量没有方向．对吗？ (3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？ 答案　(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等． (2)错误．不是没有方向，而是方向任意． (3)正确． 题型一　空间向量的概念 例1　判断下列命题的真假． (1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (4)向量与的长度相等． 解　(1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同． (2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等． (3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的． (4)真命题．因为与仅是方向相反，但长度是相等的． 反思与感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个． (2)向量的相反向量为，，，. (3)||＝3. 题型二　空间向量的线性运算 例2　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是_____．(填序号) ①－－； ②＋－； ③－－； ④－＋. 答案　①② 解析　(1)－－＝－＝； (2)＋－＝＋＝； (3)－－＝－＝－＝≠； (4)－＋＝＋＋＝＋≠. 反思与感悟　运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素： (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”． 跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是_____．(填序号) ①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋. 答案　①②③④ 解析　①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以所给四个式子的运算结果都是. 题型三　空间向量的共线问题 例3　设e1、e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值． 解　∵＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2， 又A、B、D三点共线，由共线向 ... ...