第14题二次函数 I．题源探究·黄金母题 【例1】已知函数=，=（）． 求，的单调区间； 求，的最小值． 【解析】（1）由题知，=，=，当＜1时，＜0，当＞1时，＞0， 当时，＞0， ∴的单调减区间为，单调增区间为（1，+∞）；的单调增区间为[2，4]． （2）由（1）知，当时，==-1； 当=2时，==0． 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修1第39页B组第1题 【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值．高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题． 【思路方法】二次函数问题，常常借助其图象研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域，借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题． II．考场精彩·真题回放 【例1】【2017高考山东理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 A．B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，∴要有且仅有一个交点，需，故选B． 【例2】【2017浙江卷】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m（） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】因为最值在中取，∴最值之差一定与无关，选B． 【例3】【2016高考新课标II】已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图象的交点为（x1，y1），(x2，y2)，…，（xm，ym），则（） (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 【解析】都关于对称，∴它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，故选B． 【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值．． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题． 【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法，转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图象处理． III．理论基础·解题原理 考点一二次函数的概念与表示 1．概念：形如：函数叫二次函数； 2．表达形式有： （1）一般式：． （2）顶点式：若为抛物线的顶点坐标．， （3）截距式：设为抛物线与轴交点的横坐标，则．． 考点二二次函数图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝－对称 考点三二次函数图象与性质的应用 1．一元二次方程的实根分布 ，是一元二次方程=0的根，设=． 根的分布 充要条件 充要条件1 充要条件2 ，∈(，+∞) ＞且＞ ，∈(-∞，) ＜且＜ ＜＜ ＜＜ ＜＜＜ ＜＜＜ 对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图象，考虑对称轴、判别式、端点函数值．． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与分段函数、复合函、方程、不等式等数学知识结合考查函数的值域、零点个数或方程解得个数，难度为中档或中档以上． 【技能方法】 解决此类问题通过分类整合结合化为分段函数，结合函数图象与性质解题，转化化归思想、分类整合思想、数形结合 ... ...
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