第16题对数函数 I．题源探究·黄金母题 【例1】已知函数，，． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由，得，∴函数的定义域为． （2）根据（1）知：函数的定义域为 ∴函数的定义域关于原点对称． 又∵ ＝， ∴是上的偶函数． 精彩解读 【试题来源】人教版A版必修一第75页B组第4题 【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力． 【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断与的关系，进而判定． II．考场精彩·真题回放 【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈0．48） A．1033B．1053 C．1073 D．1093 【答案】D 【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D． 【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数在上是增函数．若，则的大小关系为（） A．B．C．D． 【答案】 【解析】由题意：，且：， 据此：，结合函数的单调性有：， 即，本题选择C选项． 【例3】【2017高考新课标I理数】设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【解析】令，则，，，∴，则，，则，故选D． 【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用． 【难点中心】（1）处理含有参数的对数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用对数函数的图象时，常常涉及不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难． III．理论基础·解题原理 考点一 对数与对数的运算性质 （1）对数的定义 如果（且），那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为，且 常用对数 底数为10 自然对数 底数为 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）： ①，②，③，④． （2）对数的运算法则： 如果，且，，，那么： 1．·＋； 2．－； 3．． （2）换底公式： （均为大于零且不等于1，）； 利用换底公式推导下面的结论 （1）．推广． （2），特例： 考点二 对数函数的定义 函数，且叫做对数函数，其中是自量，函数的定义域是． 注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：，且． 考点三 对数函数图象与性质 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）当时，，即过定点（1，0） （4）当时，； 当时， （4）当时，； 当时， （5）在（0，+）上为增函数 （5）在（0，+）上为减函数 注：确定图中各函数的底数与1的大小关系 提示：作一直线，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以 ... ...
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