高考大题专攻练10.解析几何(B组) 大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 1.已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，其右焦点为F(1，0). (1)求椭圆E的方程. (2)若P，Q，M，N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且·=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2-c2=1， 故椭圆方程为+y2=1. (2)由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(1，0)， 且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则PQ的方程为y=k(x-1)， 联立整理得：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0， x1+x2=，x1x2=， 则|PQ|=·， 于是|PQ|=， 同理：|MN|==. 则S=|PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2， S=|PQ||MN|==2， 当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数， 当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值. 当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2. 综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：+=1(a>b>0)的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1. (1)求椭圆Ω的方程. (2)已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2. ①求证：k1·k2为定值； ②求△CEF的面积的最小值. 【解题导引】(1)由题知b=1，由=，b=1联立求解即可得出. (2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出. 方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，利用斜率计算公式即可得出. ②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0，令y=2，得E，F，可得△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-yc). 【解析】(1)由题意知b=1，由=， 所以a2=2，b2=1. 故椭圆的方程为+y2=1. (2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1， 由得(1+2)x2+4k1x=0， 解得xC=-，同理xB=-， 因为B，O，C三点共线，则由xC+xB=--=0， 整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0，所以k1k2=-. 方法二：设B(x0，y0)(y0>0)，则+=1，因为点B，C关于原点对称，则C(-x0，-y0)，所以k1k2=·===-. ②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1>0，则k2<0， 令y=2，得E，F， 而yC=k1xC+1=-+1=， 所以，△CEF的面积S△CEF=|EF|(2-yc)= =··. 由k1k2=-，得k2=-， 则S△CEF=·=3k1+≥，当且仅当k1=时取得等号， 所以△CEF的面积的最小值为. 【加固训练】(2017·广元一模)已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F(-1，0)的距离为d2，且=.直线l与椭圆C交于不同两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA+∠OFB=180°. (1)求椭圆C的方程. (2)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程. (3)对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解题导引】(1)设P(x，y)，得==，由此能求出椭圆C的方程. (2)由已知条件得kBF=-1，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l方程. (3)B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设直线AF的方程为y=k(x+1)，代入+y2=1，得： x2+2k2x+k2-1=0，由此能证明直线l总经过定点M(-1，0). 【解析】(1)设P(x，y)，则d1=|x+2|，d2=， ==， 化简得+y2=1， 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)因为A(0，1)，F(-1，0)， 所以kAF==1，∠OFA+∠OFB=180°， 所以kBF=-1，直线BF的方程为y=-(x+1)=-x-1， 代入+y2=1，得：3x2+4x=0， 所以x=0或x=-，代入y=-x-1得， (舍)或 所以B. kAB==， 所以AB的方程为y=x+1. (3)由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，B1(x2，-y2). 设 ... ...
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