机械能守恒 功能关系 二轮专题复习：3.综合应用动力学和能量守恒知识分析过过程问题

3.　综合应用动力学和能量守恒知识分析多过程问题 典型例题 [例1]　(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态．直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin 37°＝，cos 37°＝) (1)求P第一次运动到B点时速度的大小． (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能． (3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R.求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量． 解析　(1)根据题意知，B、C之间的距离l为 l＝7R－2R＝5R ① 设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得 mglsin θ－μmglcos θ＝mv ② 式中θ＝37°.联立①②式并由题给条件得 vB＝2 ③ (2)设BE＝x.P到达E点时速度为零，此时弹簧的弹性势能为EP.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有 mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－mv ④ E、F之间的距离l1为 l1＝4R－2R＋x ⑤ P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有 Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0 ⑥ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得 x＝R ⑦ Ep＝mgR ⑧ (3)设改变后P的质量为m1.D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为 x1＝R－Rsin θ ⑨ y1＝R＋R＋Rcos θ ⑩ 式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实． 设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式有 y1＝gt2 ? x1＝vDt ? 联立⑨⑩式得 vD＝ ? 设P在C点速度的大小为vC.在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有 m1v＝m1v＋m1g ? P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有 Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v ? 联立⑦⑧???式得 m1＝m ? 答案　(1)2　(2)mgR　(3)　m [例2]．如图所示，倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m＝1 kg的物体A和B用一劲度系数k＝240 N/m的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住．用一不可伸长的轻绳跨过定滑轮使物体A与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α＝53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零．图中SD水平且长度为d＝0.2 m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现让环C从位置R由静止释放，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求： (1)小环C的质量M； (2)小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT； (3)小环C运动到位置Q的速率v. 解析：(1)先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力、支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为： T＝2mgsin θ＝2×10×sin 37° N＝12 N 以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图1所示，则： T·cos 53°＝Mg 代入数据得：M＝0.72 kg (2)由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力：F1＝mgsin θ＝1×10×sin 37°＝6 N 弹簧的伸长量：Δx1＝mgsin θ/k＝0.025 m 当小环C通过位置S时A下降的距离为 xA＝－d＝0.05 m 此时弹簧的压缩量Δx2＝xA－Δx1＝0.025 m 由速度分解可知此时A的速度为零，所以小环C从R运动到S的过程中，初末态的弹性势能相等，对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有：Mgdcot α＋m ... ...