备考2018中考数学高频考点剖析专题6 代数之一元二次方程根的判别式问题

备考2018中考数学高频考点剖析 专题六 一元二次方程判别式问题 考点扫描聚焦中考 一元二次方程判别式问题，是各省各市地中考的必考内容之一，考查的知识点包括判断根的情况、判断所含字母的取值范围及其与其它知识点的综合运用等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以判断所含字母取值范围并结合其它知识点综合考查为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行一元二次方程判别式问题的探讨：21cnjy.com （1）判断根的情况； （2）判断所含字母取值范围； （3）与其它知识综合应用． 考点剖析典型例题 例1（2017宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（　　）21·cn·jy·com A． B． C．且a≠1 D．且a≠1 【分析】根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．2·1·c·n·j·y 【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0， 解得a≥﹣且a≠1． 故选D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【来源：【出处：21教育名师】 例2（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1， ∴b2﹣4ac＞0， 故选A 【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 例3（2017湖北荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3； ③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．②④·世纪*教育网 【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断； ②设x2=2x1，得到x1?x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；【来源：21cnj*y.co*m】 ③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； ④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；【版权所有：21教育】 【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0， 解得x1=4，x2=﹣2， ∵x1≠2x2，或x2≠2x1， ∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程． 故①错误； ②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程， ∴设x2=2x1， ∴x1?x2=2x12=2， ∴x1=±1， 当x1=1时，x2=2， 当x1=﹣1时，x2=﹣2， ∴x1+x2=﹣a=±3， ∴a=±3，故②正确； ③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴x2=2x1， ∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确； ④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上， ∴mn=4， 解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣， ∴x2=4x1， ∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程； 故选C． 例4（2017湖南岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线 ... ...