备考2018中考数学高频考点剖析专题18 平面几何之等腰（边）三角形问题（原卷+解析卷）

备考2018中考数学高频考点剖析 专题十八 平面几何之等腰（边）三角形问题 考点扫描聚焦中考 等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，总体来看，难度系数中游，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形与四边形和变换相结合进行考查为主。结合2016、2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨： （1）等腰三角形性质与判定； （2）等边三角形性质与判定； （3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题． 考点剖析典型例题 例1（2017?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD 【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角， ∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确； ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED，选项B正确； ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C， ∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD， ∴∠CDE=∠BAD，选项C正确； ∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE， ∴选项D错误； 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键． 例2（2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ． 【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 【解答】解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为：30°或150°或90°． 例3如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．21·cn·jy·com （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE； （2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值； （3）分三种情况进行讨论： ①当AD=DE时，如图2， 由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x； ②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）； ③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°， 此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°， ∴∠ABD=∠ACB=30°， ∴∠ABD=∠ADE=30°， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB， ∴∠EDC=∠DAB， ∴△ABD∽△DCE； （2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°， 过A作AF⊥BC于F， ∴∠AFB=90°， ∵AB=2，∠ABF=30°， ∴AF=AB=1， ∴BF=， ∴BC=2BF=2， 则DC=2﹣x，EC=2﹣y， ∵△ABD∽△DCE， ∴， ∴， 化简得：y=x+2（0＜x＜2）； （3）当AD=DE时，如图2， 由（1）可知：此时△ABD∽△DCE， 则AB=CD，即2=2﹣x， x=2﹣2，代入y=x+2， 解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2， 当AE=ED时，如图3， ∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120 ... ...