备考2018中考数学高频考点剖析专题24 平面几何之直线与圆的位置关系问题（原卷+解析卷）

备考2018中考数学高频考点剖析 专题二十四 平面几何之与圆的位置关系问题 考点扫描聚焦中考 与圆的位置关系，是每年中考的必考重点内容之一，重点考查的知识点包括切线的性质和切线的判定两方面，总体来看，难度系数中等，以选择填空为主。解析题重点进行证明为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行与圆的位置关系问题的探讨： （1）切线的性质； （2）切线的判定； （3）涉及圆与直线位置关系的综合问题． 考点剖析典型例题 例1（2017广西百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2 【考点】MB：直线与圆的位置关系；F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间． 【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图． 在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b）， 当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0）， 则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形． 连接圆心O和切点C．则OC=2． 则OB=OC=2．即b=2； 同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2． 则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2． 例2（2017广西）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径． 【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形． 【分析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切； （2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图， ∵PA=PD， ∴弧AP=弧DP， ∴OP⊥AD，AE=DE， ∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA， ∴∠OAP=∠OPA， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA⊥AB， ∴直线AB与⊙O相切； （2）连结BD，交AC于点F，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DB与AC互相垂直平分， ∵AC=8，tan∠BAC=， ∴AF=4，tan∠DAC==， ∴DF=2， ∴AD==2， ∴AE=， 在Rt△PAE中，tan∠1==， ∴PE=， 设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R， 在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2， ∴R2=（R﹣）2+（）2， ∴R=， 即⊙O的半径为． 例3（2017?宁德）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若 BF=10，sin∠BDE=，求DE的长． 【考点】ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形． 【分析】（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线； （2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据=sinF=sin∠BDE=，可得BD=2，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE==，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到DE的长． 【解答】解：（1）如图所示，连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∵BD平分∠OBC， ∴∠OBD=∠DBE， ∴∠ODB=∠DBE， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）如图，连接DF， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠FDB=90°， ∴∠F+ ... ...