反比例函数基础知识的应用 【专题综述】 1．一般地，形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数. 2.函数的解析式的特征:①等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.③比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.④函数y的取值范围也是一切非0的实数. 3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0) 4.用待定系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数（且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式. 5.反比例函数y=( k为常数,k≠0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形) 6.反比例函数图象的性质：当k>0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴. 7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两坐标轴围成的矩形面积为|k|. 【方法解读】 已知是反比例函数 求它的解析式. 求自变量的取值范围，在每个象限内，随的增大而怎样变化？ 它的图象位于哪个象限？ 分析：（k≠0）叫反比例函数，也可以写成，因此，它的特点是（1）k≠0，（2）x的指数为-1. 解：（1）由题意得，，解析式为 （2）自变量的取值范围是. （3）由于，它的图象位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大. 例2、在同一坐标系中，函数和的图像大致是 （ ） 分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分和两种情况进行讨论，选A. 例3、如右图，在的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积为，则与的大小关系是( ) A. B. C. D.不确定 分析：由基础知识7知，故选C. 例4．已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)， 且，则的值是（ ） A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定 分析：由可分为， 易得， 故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言. 例5．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为（ ） A、 B、 C、 D、 分析：根据图象所在的象限，知，取得，即，故选B. 例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围. 解：如图，由题意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2， ∴⊿DEA∽⊿ABP，∴ 即 (2)∵P在BC上,与B不重合,可以与C重合 ,. (3)由于函数自变量的取值范围是3
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