专题9.15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版+解析版）

例谈求阴影部分面积的几种常见方法 【专题综述】 在初中数中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法． 【方法解读】 一、直接求解法 例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积． 分析 因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积． 解 如图1，根据对称性可得 AD＝AD1＝A1D1＝6． 由已知条件易知： EC＝D1B＝4，BC＝6； Rt△FBA1∽Rt△FCE． 设FC为x，则FB＝6－x． 二、间接求解法 例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm； ⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积． 分析 这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算． 三、整体合并法 例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和． 分析 所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解． 解 如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积． 四、等积变换法 例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为R，OA∥BC，求阴影部分面积． 分析 本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解． 解 连接OC，OB， 五、分割法 例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积． 分析 阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和． 解 如图5，连接CD． ∵AC、BC是直径， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴A、D、B三点共线． 设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分． 则 六、转化法 例6 如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB＝4cm，求阴影部分面积． 分析 如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积． 解 如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作OE⊥AB于点E，则 BE＝AB＝2cm． 设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有 七、割补法 例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积． 分析 阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单． 解 如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB． 易知： ∵P(3a，a)在反比例函数y＝的图象上， ∴3a＝． 解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）． ∴P坐标为(6，2)． 连接OP，作PC⊥x轴于点C，得： 八、方程建模法 例8 如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积． 分析 本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单． 解 正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y． 根据题意得： 因 ... ...