山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题22直角三角形的存在性（含答案）

专题22 直角三角形的存在性 破解策略 以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示： 直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）． 解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算． 如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题． （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验． 有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！ 例题讲解 例1 如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）． 所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a 由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1 所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3． （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N． 若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， 无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN． 所以PM＝BN． 设点P的坐标为（m，H，－m2＋2m＋3）．则PM＝|m＋3|，BN＝|－m2＋2m＋3|，所以|m＋3|＝|－m2＋2m＋3|．解得m1＝0，m2＝1，m3＝，m4＝ 所以点P的坐标为（0，3），（1，4），（，），（，） 例2 如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由， 解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k＝8， 所以反比例函数为y＝， 联立方程纽组 ， 解得， 所以点B的坐标为（1，8）． 由题意可得点E．F的坐标分剐为（5，0），（0，10）， 以AB为直角迎的直角三角形有两种情况： 如图1，当∠PAB＝90°时， 连结OA，则OA＝＝． 而AE＝＝，OE＝5，所以OA2＋AE2＝OE2， 即OA⊥AB．所以A，O，P三点共线． 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y＝x． 联立方程组 解得， 所以点P的坐标为（－4，－2）． ②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G． 易证△FBC∽△FOE，所以， 而FO＝10．FE＝，FB＝＝ 可求得FG＝，所以点G的坐标为（0，）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为y＝x＋， 联立方程组 解得 所以点P的坐标为（－16，－）； 综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－）． 例3 如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标． 解 由题意可得点A（－1，0），P（2，－5），B（5，0）． 设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m－2，5），E的坐标为（2m－5，0）， 所以PQ2＝（2m－4）2 ＋102，PE2＝（2m－7）2＋52，EQ2＝32＋52＝34． △PQE为直角三角形有三种情况： ①当∠PQE＝ 90°时，有PE2＝PQ2＋ EQ2， 即（2m－7）2＋52＝（2m－4）2＋102＋34，解得m＝－，所以 ... ...