山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编专题25全等三角形的存在性（含答案）

专题25 全等三角形的存在性 破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有： （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解． （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等． 例题讲解 例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的表达式； （2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意可列方程组 ， 解得 ， 所以抛物线的表达式为． （2）显然OA＝2， OB＝3， OC＝4． 所以． 若△P BD≌△PBC，则BD＝ BC＝5，PD＝PC 所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上， ①若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合． 如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点． 此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2 BD． 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）． 所以直线BE的表达式为． 联立方程组，解得， ． 所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）．（4＋，）． ②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）． 如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点． 此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4 BD． 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2）， 所以直线BF的表达式为y＝2x－6． 联立方程组，解得， 所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋，－8＋2），（ －1－，－8－2）， 综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4＋，）， （－1＋，－8＋2）或（－1－，－8－2）． （3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0， 则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2． 而∠AMN＝∠ABN＝900， 所以△AMN与△ABN全等有两种可能： ①当AM＝AB，MN＝BN时， 可列方程组，解得；（舍）， 所以此时点M的坐标为（0，）． ②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：· 解得，（舍） 所以此时点M的坐标为（0，）． 综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）． 例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝ 900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标． 图1 图2 解： 由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝．所以OD＝OB＝，BD＝OB＝． ①当点F在OA上时， （ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1． 此时DF⊥OA，所以OF＝OD＝，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）． （ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2． 此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝＝；所以∠BED＝300， 从而BE＝BD＝，AE＝． 过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝AE＝， 所以OG＝，即点E的坐标为（，）． 图3 图4 （ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3． 此时DE∥OA，所以BD＝BE． 从而AE＝OD＝， 过点E作EG⊥OA于点G， 则EG＝AG＝AE＝， 所以OG＝，即点E的坐标为（，）． ②当点F在AB上时，只能有△ODF ≌△AFD，如图4． 此时DF∥0A．且点E与点A重合， 即点E的坐标为（4，0）． 综上 ... ...