数列通项公式的求法

数列通项公式的求法 考点1：由数列的前几项求数列的通项 【观察法】（关键是找出各项与项数n的关系：横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。） 例1、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5,55,555,5 555，…. 解　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．21·cn·jy·com (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为an＝. (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝. (4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，21cnjy.com 故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． 例2、数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)． an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*) 解析　将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C. 练习1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） （3） （4） 答案：（1） （2） （3） （4）. 考点2：由an与Sn的关系求通项an 【公式法】 知利用公式 . 例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式. （1）. （2） 答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一. 例2、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1)依题意，2S1＝a2－－1－， 又S1＝a1＝1，所以a2＝4； (2)由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n， 所以当n≥2时， 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1) 两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)， 即－＝1，又－＝1， 故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2. 练习1．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝(　　)． A. B. C. D．30 解析1：　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30. 答案　D 练习2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝(　　)． A．－10 B．6 C．10 D．14 解2：　a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案　C 练习3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)． A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 解析3：　∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即＝(n≥2)， 又a2＝，∴an＝×n－2(n≥2)． 当n＝1时，a1＝1≠×－1＝， ∴an＝ ∴Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1. 答案　B 练习4、设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为_____．21教育网 解析4：∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式左右两边分别相减得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由题意知，a1＝，符合上式，2·1·c·n·j·y ∴an＝(n∈N*)． 答案　an＝ 考点3：由递推公式求数列的通项公式 【累加法】（型如的递推关系） 简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二 ... ...