徐州市2017-2018学年度高三第一次质量检测 数学I参考答案与评分标准 一、填空题 1． 2． 3． 4． 5．750 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题 15．（1）在中，由，得为锐角，所以， 所以，………………………………………………………………2分 所以. ………………………………4分 …………………………………………………………6分 （2）在三角形中,由，所以， ……8分 由，…………………………10分 由正弦定理,得，………………………12分 所以的面积. …………………………14分 16．（1）取的中点，连结因为分别是的中点， 所以且在直三棱柱 中，，， 又因为是 的中点，所以 且. ……………………2分 所以四边形是平行四边形， 所以， ……………………4分 而平面，平面， 所以平面. ……6分 （2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，…………………8分 又因为，所以，平面平面， ，所以平面，…………………………………10分 又因为平面，所以，即，连结， 因为在平行四边形中，，所以，又因为， 且，平面，所以平面，………………………12分 而平面，所以.…………14分 17．（1）设交于点，过作，垂足为， 在中，，，…2分 在中，，………4分 所以 ， ……………………6分 （2）要使侧面积最大，由（1）得： ,…………8分 设 则，由得：， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在时取得极大值，也是最大值； 所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分 此时等腰三角形的腰长． 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分 18．（1）由题意知：……………………………………………………2分 解之得： 所以椭圆方程为． ……………………………4分 （2）若，由椭圆对称性，知，所以， 此时直线方程为， ……………………………………………6分 由，得，解得（舍去），…………8分 故．…………………………………………………………………10分 （3）设，则，直线的方程为， 代入椭圆方程，得， 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分 又在直线上，所以， 同理，点坐标为，， ……………………………………………14分 所以，即存在，使得．…………16分 19．（1）函数的定义域为． 当时，， 所以，……………………………………………2分 所以当时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 所以当时，函数取得极小值为，无极大值．………………4分 （2）设函数上点与函数上点处切线相同，则， 故， …6分 所以，代入，得 ……………8分 设，则， 不妨设则当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分 代入可得：， 设，则对恒成立， 所以在区间上单调递增，又， 所以当时，即当时, ……………12分 又当时，，14分 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立； 即存在使得函数上点与函数上点处切线相同． 又由得：， 所以单调递减，因此， 所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分 20．（1）若，则(), 所以，即， 所以， ……………………………………………………………2分 又由，，得，，即， 所以，故数列是等比数列．…………………………………………4分 （2）若是等比数列，设其公比为（ ）， 当时，，即，得 ， ① 当时，，即，得 ， ② 当时，，即，得 ， ③ ② ① ，得 ， ③ ② ，得 ，解得． 代入①式，得．…………………………………………………………………8分 此时()，所以， ... ...
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