甘肃省2018届高三第二次诊断考试数学理试题（PDF版）

2018 年甘肃省第二次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. B 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. D 9. B 10. A 11. D 12. A 11. 提示：设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )，因为 A,B 两点在抛物线上，所以 | AF | + | BF | p p= y1 + + y2 + = y1+ y2 + p ，由 | AF | + | BF |= m | OF |得 2 2 y1 + y p mp 2 + = ，联立双曲线与抛物线的方程 2 x2 y 2 2 2 = 1, 2 2 2 2 2 a b 消去 x 得a y 2 pb y + a b = 0， x2 = 2 py, 2 pb2 2 pb2 mp 2 所以 y1 + y2 = 2 ，所以 2 + p = ,又双曲线渐近线为 y = x, a a 2 2 b 2 知 = ，得m = 4.故选 D a 2 1 x +1, x≤1, 12 ．提示:作函数 f (x) = 2 和函数 y = a | x |的图象， ln x, x > 1, 由图可知，a > 0 ，要使得两个图象有三个交点，则 y = ax 与 y = ln x在 (1,+∞) 上必有两 个交点，故只需 y = ax 图象在过原点的 y = ln x的切线的下方，可求得 y = ln x过原点的 1 1 切线为 y = x，所以只需0 < a < .故选 A. e e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 3 13. 1 14. 15. 汉服社 16. 4 6 4 16. 2提示：抛物线 y = 4x 焦点 F (1,0)，由题易知直线 AB 的斜率一定不为 0， 设直线 AB 的方程为 x = my + 2 ， 第二次诊断理科数学答案 第 1 页（共 6 页） x = my + 2, 设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 2 ，联立方程 2 可得 y 4my 8 = 0， y = 4x, 所以 y1 + y2 = 4m, y1 y2 = 8. S 1又 ΔABF = ×1× | y1 y2 | 1 = ( y1 + y2 ) 2 4 y y 1= 16m2 + 32 = 2 3 m21 2 得 = 1， 2 2 2 则 | AB |= 1+m2 ( y1 + y2 ) 2 4 y1 y2 = 2 16 + 32 = 4 6 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解: (I)设数列{an}的首项为a1,则由已知得 a1 + 3d = 2a1 + 2d , (a1 + 3d ) 2 = (a1 + d )(a1 + 5d + 2), a1 =1, 解得 ∴an = n . ………………………………………6 分 d =1, 2 2 1 1 (II)∵bn = = = 2( ) , an an+1 n(n +1) n n +1 ∴Tn = 2[(1 1 ) + (1 1) (1 1 + + )] = 2(1 1 ) < 2 . ……12 分 2 2 3 n n +1 n +1 18. 解：(I)由茎叶图知数学学院有 25 人参加竞赛，80 分以上的有 12 人，所以优秀率为 12 = 0.48 , 25 由直方图可知文学院的优秀率为（0.03+0.005）×10=0.35, ∴数学学院的优秀率高于文学院的优秀率. ………………………………4 分 (II)数学学院不小于 90 分的学生有 4 人，文学院不小于 90 分的学生有 0.005×10× 40=2 人，总共有 6 人. ξ = 1,2,3， 1 2 2 1 3 P(ξ = 1) C C 1= 4 23 = , P(ξ 2) C4 C2 3= = 3 = , P(ξ 3) C 1 = = 4 = . C6 5 C6 5 C 3 6 5 所以ξ 的分布列为： ξ 1 2 3 1 3 1 P 5 5 5 ∴Eξ 1 1 3 1= × + 2 × + 3× = 2 . ………………………………12 分 5 5 5 第二次诊断理科数学答案 第 2 页（共 6 页） 19. 解：（I）∵BD ⊥平面 ACC1A1 ∴BD ⊥ AC 又∵ AB = BC = 2,∠ABC = 90° ∴D 为 AC 中点 z 在ΔDEC 61中， DE = , DC1 = 3, C1 B12 C E 3 2= ∴DE 2 + DC 21 2 1 = C1E 2 A1 ∴DE ⊥ DC1∵BD ⊥平面 ACC1A1 ， DE 平面 ACC1A1 ∴DE ⊥ BD E 又 DC1 平面 BDC1， BD 平面 BDC1， 且 DC1 ∩ BD = D x C B ∴DE ⊥平面 BC1D . …………5 分 D （II）如图建立空间直角坐系，则 A B(0,0,0), A(0, 2,0),C( 2,0,0), B1(0,0, 2), y C ( 2,0, 2), D( 2 , 2 ,0), E(0, 2, 2 )， 假设在棱 AB1 1上存在一点 P ，使得2 2 2 二面角 P 1 BD C1的余弦值为 ， 设3 AP = λAB1 = λ(0, 2, 2) ∴P(0, 2 2λ, 2λ) 设平面 PBD 的一个法向量为n = (x, y, z) ，则 BP = (0, 2 2 2 2λ, 2λ)， BD = ( , ,0) 2 2 n BD 2 2 = x + y = 0 2 2 取 x = 1 ... ...