高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 利用空间向量求线面角 从近三年高考情况来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点．高考主要考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，主要为解答题，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. 2017新课标全国II 19 2015新课标全国Ⅱ 19 2016新课标全国III 19 2015新课标全国Ⅰ 18 ★★★★★ 利用空间向量求二面角 2017新课标全国Ⅰ 18 2017新课标全国Ⅱ 19 2017新课标全国III 19 2016新课标全国Ⅰ 18 2016新课标全国Ⅱ 19 ★★★★★ 考点1 利用空间向量证明平行与垂直 调研1 如图，在直三棱柱ADE?BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O. (1)因为=，=(?1，0，0)， 所以·=0， 所以⊥. 因为棱柱ADE?BCF是直三棱柱， 所以AB⊥平面BCF， 所以是平面BCF的一个法向量，且OM?平面BCF， 所以OM∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2)． 因为=(1，?1，1)，=，=(1，0，0)，=(0，?1，1)， 由n1·=n1·=0，得解得 令x1=1，则n1=. 同理可得n2=(0，1，1)． 因为n1·n2=0， 所以平面MDF⊥平面EFCD． 技巧点拨 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法 设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行：l∥α?a⊥μ?a·μ=0?a1a2＋b1b2＋c1c2=0； (2)线面垂直：l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2； (3)面面平行：α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3； (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v?μ·v=0?a2a3＋b2b3＋c2c3=0. 注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 考点2 求空间角 题组一 求异面直线所成的角 调研1 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A．? B．? C． D． 【答案】D 【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，?2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)． 故=(?4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===?. 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=. 技巧点拨 利用向量求异面直线所成的角 一是几何法：作—证—算； 二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β=. 注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|. 题组二 求线面角 调研2 如图，四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点． (1)求证：PE⊥CD； (2)求PC与平面PDE所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析；(2) . ... ...
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