一模型界定 由于电场或磁场的周期性变化、或是由于电场与磁场在空间上的有界分布，引起带电粒子在空间运动时在运动形式的周期性重现，其解通常需由自然数n来表达的一类问题． 二模型破解 （I）在电场或磁场随时间发生周期性变化而引起带电粒子在空间运动的周期性时: 通常需要先分析带电粒子在一个周期内的运动情况，再综合考虑粒子在整个空间中的运动以及题目对粒子运动要求． 例1.如图甲所示，在真空中半径为r的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向与纸面垂直，在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离也为r，板长为2r，两板的中心线O1O2与磁场区域的圆心O在同一直线上，两板左端与O1也在同一直线上。今有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，以速率从圆周上的P点沿垂直于半径OO1，并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O1点飞出磁场时，给M、N板加上如图乙所示电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板边缘飞出，不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力，求： （1）磁场的磁感应强度B的大小和方向； （2）交变电压的周期T和电压U0的值； （3）若t=T／2时，将粒子从MN板右侧沿板的中心线O2O1仍以速率射入MN板之间，请画出粒子经过磁场中的运动轨迹，并求出粒子从磁场中射出的点到P点的距离。 【答案】（1） 垂直纸面向外 （2） 其中（3） （2）带电粒子在电场中水平方向始终是做速度大小为的匀速直线运动；竖直方向上前半个周期内做匀加速运动，后半个周期内做匀减速运动。由于电压的峰值相同，可知每个周期结束时粒子在竖直方向上的分速度恰好减小到零． 由于粒子从板间飞出时速度水平，即在竖直方向上最终速度为零，则可知： 粒子通过金属板的时间有： 其中…… 从水平方向看： 从竖直方向看： 由以上各式得： 其中… （3）由（2）中知粒子飞离电场即进入磁场时的位置是上板边缘，速度大小仍为v0，方向水平．做出粒子在电场及磁场中运动轨迹如图乙所示，由于粒子在磁场中匀速圆周运动的半径，设粒子在磁场出射点为，由几何关系可得： 30° ∠= 90° 所以射出点到P点的距离 = 例2.如图甲所示，匀强磁场方向垂直直角坐标系xoy向里，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，在t＝0时刻一个带负电的粒子（重力不计）经电压为U的电场加速后，由原点O沿y轴正方向射入磁场中． (1)若粒子比荷，求带电粒子从原点出发到再次回到原点所用时间t； (2)若粒子比荷，求带电粒子在0～10t0时间内运动轨迹的长度s； (3)若粒子比荷，同时在xoy平面内加上匀强电场，电场方向与y轴正方向相同，电场强度E随时间t的变化规律如图丙所示，运动一段时间后带电粒子能够回到原点O，试确定匀强电场E０的可能取值． 【答案】（1）（2）（3）（n=1,2,3,……) 又 解得 则 (3)若粒子的比荷变为，则带电粒子在磁场中的运动周期 在加速电场中被加速后速度为v1．据动能定理有 所以 在0～t０时间内无电场而仅有磁场，粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为R1，粒子转过的圆心角，t０时刻经x轴沿y轴负方向运动的速率为v1；在t０～2t０时间内无磁场而仅有电场，粒子受到沿y轴负方向的电场力作用，做初速度为v1的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得． 设2t0时刻粒子的速度为v2，据运动学的知识有 在2t０～3t０时间内无电场而仅有磁场，粒子的运动轨道半径设为R2，转过的圆心角仍为，但速度v2>v1，所以R2>R1；在3t０～4t０时间内无磁场而仅有电场，粒子受到沿y轴负方向的电场力作用，做初速度为v2的匀减速直线运动，4t０时刻的速度大小又变为v1；粒子在空间上完成了一个周期性运动，此后在4t０～5t０时间内的运动情况与0～t０时间内相同；……，粒子的运动轨迹如图所示，欲使粒子回到原点，由几何关系，半径R1和R2之间必须满足 又， 解得（ ... ...
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