【备考2018】中考数学题型解析与技巧点拨专题专题十七 解答题重难题型之二次函数与几何综合题（原卷+解析卷）

专题十七 解答题重难题型之二次函数与几何综合题 二次函数与几何知识的综合题历来是中考数学试题的压轴题热门之选，二次函数与几何知识的综合题中主要可分为以下几种类型： （1）动点问题。（2）存在性问题。（3）面积，周长或线段的最值问题。 ★类型一：动点的问题 【例题展示】 例题1（2017?河南）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．21*cnjy*com （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．【来源：21cnj*y.co*m】 【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；【版权所有：21教育】 （2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值； ②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值． 【解答】解： （1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B， ∴0=﹣2+c，解得c=2， ∴B（0，2）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2； （2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2， ∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N， ∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2）， ∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m， ∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM， ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°， 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN， ∴BN=OM=m， ∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2， ∴M（2，0）； 当∠NBP=90°时，则有=， ∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2）， ∴BP==m，AP==（3﹣m）， ∴=，解得m=0（舍去）或m=， ∴M（，0）； 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（，0）； ②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2）， ∵M，P，N三点为“共谐点”， ∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点， 当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；【来源：21·世纪·教育·网】 当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1； 当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣； 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣． 【跟踪训练】 （2017贵州安顺第26题）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． ★类型二：最值的问题 【例题展示】 例题2（2017湖南怀化第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是轴上的一点，且以为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)如图2，轴玮抛物线相交于点， ... ...