2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.1+利用导数研究函数的单调性（第02期）

2018届高考数学大题狂练 第六篇 函数与导数 专题01 利用导数研究函数的单调性 一、解答题 1．已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）若函数有两个极值点，且，证明：. 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析 【解析】分析：（1）求出函数的定义域为及函数的导数，令，分和分类讨论，即可得到函数的单调区间；2·1·c·n·j·y 当时，即时，，， 所以函数在上单调递增. 当时，即时， 令得，， 当时，即时，在 上，， ; 在上，，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 当时，即时，在上，，; 在上，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增， 在上单调递减； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增. ∴证明成立，等价于证明成立. ∵，∴. 设函数， 求导可得. 易知在上恒成立， 即在上单调递增， ∴，即在上恒成立， ∴函数有两个极值点，且时，. 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用及不等关系的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.21教育网 2．已知函数，其中为自然对数的底数，设函数的导数为． （1）试讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） （2）由（1）可得，则可化为， 所以，由题意可知，当时，恒成立， 所以当时，， 由（1）可得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 所以，解得，故实数的取值范围为． 3．已知函数. （1）当时，判断函数的单调性； （2）当时，证明：.（为自然对数的底数） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）函数的定义域为. . ①当时，. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ③当时，. 易知恒成立，函数在上单调递增； ④当时，. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，不等式化为. 记，则. 显然在上单调递增， 且，. 所以在上有唯一的零点，且. 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 由，即，得， 所以 ， 而易知函数在上单调递减， 所以， 所以. 所以，即. 4．已知函数且. （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数，若存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】分析：第一问首先对函数求导，利用函数单调增，确定导数在给定区间上大于等于零恒成立，对进行讨论，求得结果，第二问根据存在满足条件的值，将其转化为最值来处理，对函数求导，研究函数的单调性，确定出函数的相应的最值，最后求得范围.21cnjy.com 详解：(1) 当时，函数是上的单调递增函数，符合题意； 当时，，令，则 分析知，在上单调递减，在上单调递增 又∵函数在区间上单调递增， ∴， ∴ 综上，实数的取值范围是. ∴，即 ∴在上单调递增， ∴， ∴. 即实数的取值范围为. 点睛：该题所考查的是有关导数的综合应用问题，这里涉及到函数的单调性的讨论，函数的最值的求解，借助导数，研究函数的单调性，在解题的过程中，涉及到构造新函数的问题，这里需要时刻保持头脑清醒以及问题的等价转化.21·cn·jy·com 5．已知函数， （Ⅰ）若，且是函数的一个极值，求函数的 ... ...