第六章 数列与数学归纳法 第一节数列的概念与简单表示法 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4．数列的分类 [小题体验] 1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为_____． 答案：an＝2n－1(n∈N*) 2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5等于_____． 答案： 3．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n－1，则an＝_____. 答案：2×3n－1 1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关． 2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形． [小题纠偏] 1．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是_____． 答案：an＝ 2．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第_____项最大． 答案：4或5 [题组练透] 1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－，，－，，…； (3)－1,7，－13,19, …； (4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×，n∈N*.21世纪教育网版权所有 (3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*. [谨记通法] 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下： ①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题． [典例引领] 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝2n－an. 解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式， ∴an＝4n－5. (2)当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，所以a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－an)－[2(n－1)－an－1]＝2－an＋an－1， 即an＝an－1＋1，转化可得an－2＝(an－1－2)． 所以{an－2}是以首项为a1－2＝－1，公比为的等比数列， 所以an－ ... ...
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