2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试 高二试题理科数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 2.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A． B． C． D． 3.由与圆心距离相等的两条弦长相等，想到与球心距离相等的两个截面圆的面积相等，用的是（ ） A．三段论推理 B．类比推理 C．归纳推理 D．传递性关系推理 4.若向量，，，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5.用反证法证明命题“设、为实数，函数至少有一个零点”时要做的假设是（ ） A．函数恰有两个零点 B．函数至多有一个零点 C．函数至多有两个零点 D．函数没有零点 6.用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 7.定积分（ ） A． B． C． D． 8.已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为（ ） 9.甲、乙、丙、丁四位同学一起向数学老师询问数学竞赛的成绩．老师说：他们四人中有2位获得一等奖，有2位获得二等奖，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A．乙、丁可以知道对方的成绩 B．乙、丁可以知道自己的成绩 C．乙可以知道四人的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 10.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.函数的极大值点为（ ） A． B． C． D． 12.设函数是定义在区间上的函数，是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.当且时，复数在复平面上对应的点位于第 象限． 14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ． 15.如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为 ． 16.函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调区间及极值． 18.已知四棱锥中，底面，，，，是中点． （1）求证：平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 19.设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，． 20.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21.已知函数（）． （1）为的导函数，讨论的零点个数； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 22.已知复数，（为实数，为虚数单位），且是纯虚数． （1）求复数，； （2）求的共轭复数． 2017-2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试高二试题理科数学答案 一、选择题 1-5: 6-10: 11、12： 二、填空题 13.四 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）， 由题意可知， ∴， 代入得， ∴， ∴． （2）， 令，或， 列表得： ∴的单调增区间为，，单调减区间为， ，． 18.（1）证明：取的中点，连接、， ∵、分别为、的中点， ∴，且， 又∵， ∴且， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2）以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标，，，，，，， 设平面的一个法向量， ，， ∴即令，则，，， 设直线与平面所成角为， ． 19.解：（1）， ∴，又， ∴， 即切线方程为． （2）要证， 由于，只需证明，即证， 设，则， ，（且不恒为0）成立， ∴在单调递减，且， ∴成立， 即时，成立 ... ...
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