专题03数列中的不等问题与数学归纳法-2017-2018学年下学期期末复习备考高二数学备考热点难点突破练（浙江版）

专题03 数列中的不等问题与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，小题、大题均有，小题以单独考查等差数列或等比数列为主，解答题往往以考查求通项、数列求和为基本内容，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”. 关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”、数学归纳法等.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法. 【热点难点突破】 例1.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 13 【答案】B 点睛：该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果. 例2. 已知函数，数列满足，且数列 是递增数列，则实数的取值范围是( ?? ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得，求解可得答案． 详解：根据题意，an=f（n）=， 要使{an}是递增数列，必有： ， 解得，4＜a＜8． 故选：B． 例3.已知等差数列中，，，则使成立的最大的值为（ ） A. 97 B. 98 C. 99 D. 100 【答案】B 【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求的最大值． 详解：设等差数列的公差为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 由，解得， 又， ∴， ∴最大的值为98. 故选B． 例4.已知为正项数列的前项和，，记数列的前项和为，则的最小值为_____. 【答案】 猜想， 以下用数学归纳法进行证明： 当时，结论是成立的， 假设当时，数列的通项公式为：，则， 由题意可知：， 结合假设有：，解得：， 综上可得数列的通项公式是正确的. 据此可知：，， 利用等差数列前n项和公式可得：， 则， 结合对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值， 当时， 当时， 由于，据此可知的最小值为. 点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 例5.【浙江省绍兴市2018届5月调测】已知数列中. （1）证明：； （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：（1）由题意利用数学归纳法题中的结论即可； （2）由（1）知：，据此可得. 放缩可得 ，故． 详解：（1）数学归纳法：①当时，，，显然有. ②假设当，结论成立，即， 那么，， 即， 综上所述成立. 于是： 得: ， 故． 点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点． 例6.已知数列中，. （1）证明：是等比数列； （2）当是奇数时，证明：； （3）证明：. 【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析. 【解析】分析：（1）由可得，由此可得数列为等比数列．（2）结合（1）中所得的数列的通项公式，利用放缩法证明即可．（3）根据（2）中的结论分为偶数和为奇数两种情况分别转化为等比数列的求和问题可证得结论成立． (2)由（1）可知故． 当是奇数时， ． (3)由（2）可知， 当为偶数时，， ∴ ． 当为奇数时，，且， ∴ ． 综上可得． 点睛：（1）证明数 ... ...