“随机变量及其分布”双基过关检测 一、选择题 1．设随机变量ξ～N(2,1)，若P(ξ>3)＝m，则P(1<ξ<3)等于( ) A.－2m B．1－m C．1－2m D.－m 解析：选C 因为随机变量ξ～N(2,1)， 所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x＝2， 因为P(ξ>3)＝m，所以P(ξ<1)＝m， 因此P(1<ξ<3)＝1－2P(ξ>3)＝1－2m. 2．已知离散型随机变量X的概率分布列为 X 0 1 2 3 P a 则随机变量X的数学期望为( ) A. B. C. D. 解析：选C ∵a＝1－＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P的值为( ) A. B. C. D. 解析：选D 由题可得，c1－＋－＋－＋－＝c×＝1，解得c＝. 所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝×＝. 4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选D 设事件A为“第一次取到的是螺口灯泡”， 事件B为“第二次取到的是卡口灯泡”， 则P(A)＝，P(AB)＝×＝， 故所求概率为P(B|A)＝＝＝. 5．(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( ) A. B. C. D. 解析：选C 由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝. 6．下列各组的两个事件相互独立的是( ) ①运动员甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”； ②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”； ③盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”； ④盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球不放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 解析：选B ①甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，是互斥事件； ②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响，故二者是相互独立事件； ③在有放回的取球中，事件A与B是否发生相互之间没有任何影响，故二者是相互独立事件； ④在不放回的取球中，事件A发生后，事件B的概率发生了改变，故二者不是相互独立事件． 二、填空题 7．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量＝(m,1)，＝ (2－m，－4)，设X＝·，则X的数学期望E(X)＝_____. 解析：∵＝＋＝(2，－3)， ∴X＝·＝2m－3，而m＝1,2,3,4,5,6. 列出X的分布列(如表所示)， X －1 1 3 5 7 9 P ∴E(X)＝(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4. 答案：4 8．已知随机变量ξ的分布列为： ξ －1 0 1 2 P x y 若E(ξ)＝，则x＋y＝_____，D(ξ)＝_____. 解析：由题意，得x＋y＝.又E(ξ)＝－x＋＋2y＝， 解得x＝， y＝， 所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 答案： 9．设随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，若P(η <－1)＝0.2，则函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是_____． 解析：f′(x)＝x2＋2x＋η2， 因为函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点， 所以f′(x)＝x2＋2x＋η2≥0恒成立， 所以Δ＝4－4η2≤0，则η≤－1或η≥1， 因为P(η≤－1)＝0.2，且随机变量η服从正态分布N(1，σ2)， 所以P(η≤－1或η≥1)＝P(η≤－1)＋P(η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7. 答案：0.7 三、解答题 10．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一 ... ...
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