复习课(一) 解三角形 利用正、余弦定理解三角形 对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等． 解三角形的常见类型及方法 (1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角． (2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边． (3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角． (4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2bsin A. (1)求B的大小； (2)若a＝3，c＝5，求b. [解] (1)由a＝2bsin A， 根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，所以sin B＝， 由于△ABC是锐角三角形，所以B＝. (2)根据余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝27＋25－45＝7， 所以b＝. [类题通法] 利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系． 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为_____． 解析：∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac， ∴·tan B＝. 即cos B·tan B＝sin B＝. ∵0
a，可得B＝或. 答案：或 4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C ＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． 解：(1)证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 cos B＝＝≥＝， 当且仅当a＝c时等号成立． ∴cos B的最小值为. 三角形形状的判定 判断三角形的形状是一种常见的题型，其基本原则是化边为角或化角为边，实现边角的统一，而达到这一目标的工具就是正弦定理和余弦定理，题型多为填空题，难度中等． 三角形中的常用结论 (1)A＋B＝π－C，＝－. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [典例] 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状． [解] ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)， ∴a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cos Asin B＝2b2sin Acos B. 法一：(化边为角)由正弦定理得2sin2Acos Asin B＝2sin2Bsin Acos B， 即sin 2A·sin Asin B＝sin 2B·sin Asin B. ∵0