解答题 1. 在数列中，，，设. 证明：数列是等差数列； 【答案】详见解析； 【解析】因为，所以数列是等差数列； 2. 设数列{an}的前n项和为Sn．已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*．求通项公式an; 3. 已知数列的前项和为，.求数列的通项公式； 【答案】 【解析】，①； 当时， ②； ②-①， 当时，， 4. 已知数列首项为1，其前项和为，且.求数列的通项公式. 【答案】. 【解析】∵ . ∴，又∵ ∴为等比数列. 5. 设为数列的前项和，已知，，． 求证：是等差数列； 【答案】见解析. 6. 已知数列，满足，，，． 求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】见解析 【解析】∵，∴，由， ∴，化简得， ∵， ∴，即（）， 而， ∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴，即，∴（）． 7. 已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．求的通项公式； 【答案】. 因为，所以， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． 8. 已知数列中，. 证明：是等比数列； 【答案】见解析. 【解析】∵ ∴， 又， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列． 9. 已知数列中，，对任意的，都有 证明：数列成等比数列，成等比数列，其中； 【答案】见解析 【解析】 ∴，， 又，∴是以首项为，公比为的等比数列 当时， 又∴是以为首项，以为公比的等比数列 10. 已知等差数列中，. 设，求证：数列是等比数列； 【答案】见解析 11. 已知是等比数列，满足，，且. （Ⅰ）求的通项公式和前项和； （Ⅱ）求的通项公式. 【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ） , ,, 是等比数列，，的通项公式为， 的前项和. 当时，， ， . 又当时, ， 的通项公式为. 12. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立． （1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列； （2）如果数列为等比数列，求的值； 【答案】(1)见解析. (2) 或． 【解析】（1）设数列的公差为，由， ① ， ② ①-②得， ③ 即，所以为常数， 所以为等差数列． 在中令，则，又，解得， 所以， 此时，解得． 综上，或． 13. 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足.，求数列的通项公式； 【答案】. 【解析】由函数方程，得 整理，得，即，从而 14. 已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36． (1)求数列和的通项公式； (2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和； (3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列． 设的前项和为，由于，则，由于， 所以． (2)数列的前n项和，数列的前项和． 当时，； 当时， ；- 当时， ；- 所以，其中．-- (3)由(1)可知，. 若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，-- 于是， 所以 ，即，-- 则对任意的，能整除，且. 若，则，矛盾，舍去；- 若，则，于是，矛盾． 综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列． ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
